Уравнение подъёмной силы: скорость, плотность воздуха, площадь крыла и угол атаки

На предыдущем шаге мы увидели, что крыло создаёт подъёмную силу, отклоняя воздух вниз. Инженеры рассчитывают эту силу одним уравнением. Поняв его, вы поймёте и то, почему самолёт не может лететь медленнее определённой скорости.

Уравнение подъёмной силы

L = ½ · ρ · V² · S · Cʟ

• L: подъёмная сила (ньютон, Н)
• ρ (ро): плотность воздуха (кг/м³). На уровне моря при 15 °C — около 1,225 кг/м³.
• V: скорость самолёта относительно воздуха (м/с)
• S: площадь крыла (м²)
• Cʟ: коэффициент подъёмной силы. Безразмерное число, зависящее от профиля крыла и угла атаки.

Выражение ½·ρ·V² называется скоростным напором (динамическим давлением). Оно показывает кинетическую энергию движущегося воздуха в единице объёма.

Что говорит нам каждый член уравнения?

Скорость: самый сильный фактор

Скорость входит в уравнение в квадрате. Если скорость удваивается, а всё остальное не меняется, подъёмная сила возрастает в четыре раза. Если скорость уменьшается вдвое, подъёмная сила падает до четверти. Поэтому для взлёта самолёт должен набрать определённую скорость.

Плотность воздуха: насколько воздух «густой»

Если плотность падает, подъёмная сила падает в той же пропорции. В высокогорье и в жару плотность ниже. Поэтому тот же самолёт в жаркий летний день или на высокогорной полосе требует более длинного разбега. Мы вернёмся к этому на шаге об атмосфере.

Площадь крыла: больше крыло — больше подъёмная сила

Если площадь крыла удваивается, подъёмная сила тоже удваивается. Большие крылья планёров и учебных самолётов нужны, чтобы создавать достаточную подъёмную силу даже на малой скорости.

Коэффициент подъёмной силы и угол атаки

Угол атаки (α) — это угол между хордой крыла (линией, соединяющей переднюю и заднюю кромки) и набегающим потоком. Это не то же самое, что высота носа самолёта над горизонтом.

На малых углах коэффициент подъёмной силы растёт с углом атаки почти линейно. По данным NASA, для тонких профилей эта зависимость сохраняется примерно до ±10 градусов. Когда угол превышает определённое значение, воздух отрывается от верхней поверхности и подъёмная сила резко падает. Это называется сваливанием; ему посвящён следующий шаг.

Посчитаем для модели самолёта

Возьмём учебную модель массой 1,2 кг с площадью крыла 0,25 м². Полёт проходит на уровне моря в стандартных условиях (ρ = 1,225 кг/м³).

1. Вес: W = m · g = 1,2 × 9,81 ≈ 11,8 Н
2. В горизонтальном полёте подъёмная сила должна равняться весу: L = W
3. Выразив скорость из уравнения: V = √( 2W / (ρ · S · Cʟ) )

Предположим, что в медленном спокойном полёте крыло работает при Cʟ ≈ 0,8 (на крейсерской скорости это значение меньше):

V = √( 2 × 11,8 / (1,225 × 0,25 × 0,8) ) = √( 23,5 / 0,245 ) ≈ 9,8 м/с (около 35 км/ч)

Предположим, что наибольший коэффициент подъёмной силы этого крыла (Cʟ,max) равен 1,2. Наименьшая скорость, на которой самолёт может удерживаться в горизонтальном полёте, — скорость сваливания:

V_stall = √( 23,5 / (1,225 × 0,25 × 1,2) ) ≈ 8,0 м/с (около 29 км/ч)

Удельная нагрузка на крыло: практическая мера

Мера, которой часто пользуются авиамоделисты, — удельная нагрузка на крыло: отношение веса к площади крыла. В нашем примере 1200 г / 25 дм² = 48 г/дм². Как видно из уравнения, скорость сваливания растёт пропорционально квадратному корню из нагрузки на крыло. Если добавить на то же крыло 300 г, скорость сваливания возрастёт примерно на 12 % (√(1,5/1,2) ≈ 1,12).

Попробуйте сами

Значения из примера уже загружены в инструмент. Введите массу и площадь крыла своей модели, чтобы рассчитать скорость сваливания и нагрузку на крыло; посмотрите, что меняется при увеличении высоты и температуры.

Итоги

• Удвоение скорости увеличивает подъёмную силу вчетверо.
• При падении плотности подъёмная сила падает; в жару и высоко над уровнем моря для взлёта нужна более высокая истинная скорость (скорость относительно земли).
• С ростом веса растёт и минимальная скорость, необходимая самолёту для полёта.
• Угол атаки увеличивает подъёмную силу, но только до критического угла.

Следующий шаг

Сваливание — это просто «слишком медленный полёт»? Нет. На следующем шаге мы разберём, почему самолёт может свалиться на любой скорости и почему в развороте скорость сваливания растёт.