Die Auftriebsgleichung: Geschwindigkeit, Luftdichte, Flügelfläche und Anstellwinkel

Im vorigen Schritt haben wir gesehen, dass die Tragfläche Auftrieb erzeugt, indem sie die Luft nach unten lenkt. Ingenieure berechnen diese Kraft mit einer einzigen Gleichung. Wer sie versteht, versteht auch, warum ein Flugzeug unterhalb einer bestimmten Geschwindigkeit nicht fliegen kann.

Die Auftriebsgleichung

L = ½ · ρ · V² · S · Cʟ

• L: Auftriebskraft (Newton, N)
• ρ (rho): Luftdichte (kg/m³). Auf Meereshöhe bei 15 °C etwa 1,225 kg/m³.
• V: Geschwindigkeit des Flugzeugs gegenüber der Luft (m/s)
• S: Flügelfläche (m²)
• Cʟ: Auftriebsbeiwert. Eine dimensionslose Zahl, die vom Profil und vom Anstellwinkel abhängt.

Der Ausdruck ½·ρ·V² heißt Staudruck (dynamischer Druck). Er gibt die kinetische Energie der bewegten Luft pro Volumeneinheit an.

Was sagt uns jeder Term?

Geschwindigkeit: der stärkste Faktor

Die Geschwindigkeit steht im Quadrat in der Gleichung. Verdoppelt sie sich bei sonst gleichen Bedingungen, wird der Auftrieb viermal so groß. Halbiert sie sich, sinkt der Auftrieb auf ein Viertel. Deshalb müssen Flugzeuge zum Abheben eine bestimmte Geschwindigkeit erreichen.

Luftdichte: wie „dick“ die Luft ist

Sinkt die Dichte, sinkt der Auftrieb im gleichen Verhältnis. An hoch gelegenen Orten und bei Hitze ist die Dichte geringer. Deshalb braucht dasselbe Flugzeug an einem heißen Sommertag oder auf einer hoch gelegenen Piste eine längere Startstrecke. Darauf kommen wir im Schritt über die Atmosphäre zurück.

Flügelfläche: größerer Flügel, mehr Auftrieb

Verdoppelt sich die Flügelfläche, verdoppelt sich auch der Auftrieb. Die großen Flügel von Segelflugzeugen und Schulflugzeugen sollen auch bei geringer Geschwindigkeit genug Auftrieb liefern.

Auftriebsbeiwert und Anstellwinkel

Der Anstellwinkel (α) ist der Winkel zwischen der Profilsehne (der Linie von der Vorderkante zur Hinterkante) und der Anströmung. Er ist nicht dasselbe wie die Höhe der Flugzeugnase über dem Horizont.

Bei kleinen Winkeln steigt der Auftriebsbeiwert annähernd linear mit dem Anstellwinkel. Laut NASA gilt dieser Zusammenhang bei dünnen Profilen bis etwa ±10 Grad. Überschreitet der Winkel einen bestimmten Wert, löst sich die Luft von der Oberseite und der Auftrieb bricht plötzlich ein. Das nennt man Strömungsabriss (Stall); er ist das Thema des nächsten Schritts.

Rechnen wir für ein Modellflugzeug

Nehmen wir ein Trainermodell mit 1,2 kg Masse und 0,25 m² Flügelfläche. Es fliegt auf Meereshöhe unter Standardbedingungen (ρ = 1,225 kg/m³).

1. Gewicht: W = m · g = 1,2 × 9,81 ≈ 11,8 N
2. Im Horizontalflug muss der Auftrieb gleich dem Gewicht sein: L = W
3. Nach der Geschwindigkeit aufgelöst: V = √( 2W / (ρ · S · Cʟ) )

Nehmen wir an, die Tragfläche arbeitet im langsamen, ruhigen Flug mit Cʟ ≈ 0,8 (im Reiseflug ist dieser Wert kleiner):

V = √( 2 × 11,8 / (1,225 × 0,25 × 0,8) ) = √( 23,5 / 0,245 ) ≈ 9,8 m/s (etwa 35 km/h)

Nehmen wir an, der größte Auftriebsbeiwert dieser Tragfläche (Cʟ,max) ist 1,2. Die geringste Geschwindigkeit, bei der das Flugzeug den Horizontalflug halten kann, die Überziehgeschwindigkeit, ist:

V_stall = √( 23,5 / (1,225 × 0,25 × 1,2) ) ≈ 8,0 m/s (etwa 29 km/h)

Flächenbelastung: ein praktisches Maß

Ein Maß, das Modellflieger häufig verwenden, ist die Flächenbelastung: das Verhältnis von Gewicht zu Flügelfläche. In unserem Beispiel 1.200 g / 25 dm² = 48 g/dm². Wie die Gleichung zeigt, steigt die Überziehgeschwindigkeit mit der Wurzel der Flächenbelastung. Legen Sie auf dieselbe Tragfläche 300 g zusätzlich, steigt die Überziehgeschwindigkeit um etwa 12 % (√(1,5/1,2) ≈ 1,12).

Selbst ausprobieren

Die Werte aus dem Beispiel sind im Werkzeug bereits eingestellt. Geben Sie Masse und Flügelfläche Ihres eigenen Modells ein, um Überziehgeschwindigkeit und Flächenbelastung zu berechnen; sehen Sie, was sich ändert, wenn Sie Höhe und Temperatur erhöhen.

Zusammenfassung

• Doppelte Geschwindigkeit bedeutet vierfachen Auftrieb.
• Sinkt die Dichte, sinkt der Auftrieb; an heißen und hoch gelegenen Orten ist für den Start eine höhere wahre Geschwindigkeit (Geschwindigkeit über Grund) nötig.
• Mit steigendem Gewicht steigt auch die Mindestgeschwindigkeit, die das Flugzeug zum Fliegen braucht.
• Der Anstellwinkel erhöht den Auftrieb, aber nur bis zum kritischen Winkel.

Der nächste Schritt

Ist ein Strömungsabriss nur „zu langsames Fliegen“? Nein. Im nächsten Schritt sehen wir, warum ein Flugzeug bei jeder Geschwindigkeit überziehen kann und warum die Überziehgeschwindigkeit im Kurvenflug steigt.